Отношения свойства есть отношения между. Бинарные отношения и их свойства

Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно:

2. Рефлексивность

Определение. Отношение R намножестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х множества Х находится в отношении R с самим собой.

Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:

R рефлексивно на Х Û("х Î Х ) х R х

Пример. Отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, т.к. каждый отрезок равен себе самому.

Граф рефлексивного отношения во всех вершинах имеет петли.

2. Антирефлексивность

Определение. Отношение R намножестве Х называется антирефлексивным, если ни один элемент х множества Х не находится в отношении R с самим собой.

R антирефлексивно на Х Û("х Î Х )

Пример. Отношение «прямая х перпендикулярна прямой у » на множестве прямых плоскости антирефлексивно, т.к. ни одна прямая плоскости не перпендикулярна самой себе.

Граф антирефлексивного отношения не содержит ни одной петли.

Заметим, что существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Например, рассмотрим отношение «точка х симметрична точке у » на множестве точек плоскости.

Точка х симметрична точке х – истинно; точка у симметрична точке у – ложно, следовательно, мы не можем утверждать, что все точки плоскости симметричны сами себе, также мы не можем и утверждать, что ни одна точка плоскости не симметрична сама себе.

3. Симметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у , следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х .

R симметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Þ у R х

Пример. Отношение «прямая х пересекает прямую у на множестве прямых плоскости» симметрично, т.к. если прямая х пересекает прямую у , то и прямая у обязательно будет пересекать прямую х .

Граф симметричного отношения вместе с каждой стрелкой из точки х в точку у должен содержать стрелку, соединяющую те же точки, но в обратном направлении.

4. Асимметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется асимметричным, если ни для каких элементов х , у из множества Х не может случиться, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом х .

R асимметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Þ

Пример. Отношение «х < у » асимметрично, т.к. ни для какой пары элементов х , у нельзя сказать, что одновременно х < у и у < х .

Граф асимметричного отношения не имеет петель и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.

5. Антисимметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется антисимметричным, если из того что х находится в отношении с у , а у находится в отношении с х следует, что х = у.

R антисимметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Ù у R х Þ х = у

Пример. Отношение «х £ у » антисимметрично, т.к. условия х £ у и у £ х одновременно выполняются только тогда, когда х = у.

Граф антисимметричного отношения имеет петли и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.

6. Транзитивность

Определение . Отношение R намножестве Х называется транзитивным, если для любых элементов х , у , z из множества Х из того, что х находится в отношении с у , а у находится в отношении с z следует, что х находится в отношении с z.

R транзитивнона Х Û("х , у , z Î Х ) х R у Ù у R z Þ х R z

Пример. Отношение «х кратно у » транзитивно, т.к. если первое число кратно второму, а второе кратно третьему, то первое число будет кратно третьему.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок от х к у и от у к z содержит стрелку, идущую от х к z.

7. Связность

Определение . Отношение R намножестве Х называется связным, если для любых элементов х , у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у .

R связнона Х Û("х , у , z Î Х ) х R у Ú у R z Ú х = у

Другими словами: отношение R намножестве Х называется связным, если для любых различных элементов х , у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у .

Пример. Отношение «х < у » связно, т.к. какие бы мы действительные числа не взяли, обязательно одно из них будет больше другого или они равны.

На графе связного отношения все вершины соединены между собой стрелками.

Пример. Проверить, какими свойствами обладает

отношение «х – делитель у », заданное на множестве

Х = {2; 3; 4; 6; 8}.

1) данное отношение рефлексивно, т.к. каждое число из данного множества является делителем самого себя;

2) свойством антирефлексивности данное отношение не обладает;

3) свойство симметричности не выполняется, т.к. например, 2 является делителем числа 4, но 4 делителем числа 2 не является;

4) данное отношение антисимметрично: два числа могут быть одновременно делителями друг друга только в том случае, если эти числа равны;

5) отношение транзитивно, т.к. если одно число является делителем второго, а второе – делителем третьего, то первое число обязательно будет делителем третьего;

6) отношение свойством связности не обладает, т.к. например, числа 2 и 3 на графе стрелкой не соединены, т.к. два различных числа 2 и 3 делителями друг друга не являются.

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, асимметричности и транзитивности.

§ 3. Отношение эквивалентности.
Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример. Рассмотрим отношение «х однокурсник у » на множестве студентов педфака. Оно обладает свойствами:

1) рефлексивности, т.к. каждый студент является однокурсником самому себе;

2) симметричности, т.к. если студент х у , то и студент у является однокурсником студента х ;

3) транзитивности, т.к. если студент х - однокурсник у , а студент у – однокурсник z , то студент х будет однокурсником студента z .

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а значит, является отношением эквивалентности. При этом множество студентов педфака можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном курсе. Получаем 5 подмножеств.

Отношением эквивалентности являются также, например, отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур. Каждое такое отношение связано с разбиением множества на классы.

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х , порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Является ли оно отношением эквивалентности?

Построим граф данного отношения:

Данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношение эквивалентности и разбивает множество Х на классыэквивалентности. В каждом классе эквивалентности будут числа, которые при делении на 3 дают один и тот же остаток: Х 1 = {3; 6}, Х 2 = {1; 4; 7}, Х 3 = {2; 5; 8}.

Считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу.

В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например, «выражения х и у имеют одинаковые числовые значения», «фигура х равна фигуре у ».

Определение . Бинарным отношением R называется подмножество пар (a,b)∈R декартова произведения A×B, т. е. R⊆A×B . При этом множество A называют областью определения отношения R, множество B – областью значений.

Обозначение: aRb (т. е. a и b находятся в отношении R). /

Замечание : если A = B , то говорят, что R есть отношение на множестве A .

Способы задания бинарных отношений

1. Списком (перечислением пар), для которых это отношение выполняется.

2. Матрицей. Бинарному отношению R ∈ A × A , где A = (a 1 , a 2 ,..., a n), соответствует квадратная матрица порядка n , в которой элемент c ij , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен 1, если между a i и a j имеет место отношение R , или 0, если оно отсутствует:

Свойства отношений

Пусть R – отношение на множестве A, R ∈ A×A . Тогда отношение R:

рефлексивно, если Ɐ a ∈ A: a R a (главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы);

антирефлексивно, если Ɐ a ∈ A: a R a (главная диагональ матрицы рефле сивного отношения содержит только нули);

симметрично, если Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (матрица такого отношения симметрична относительно главной диагонали, т.е. c ij c ji);

антисимметрично, если Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (в матрице такого отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали);

транзитивно, если Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (в матрице такого отношения должно выполняться условие: если в i-й строке стоит единица, например в j-ой координате (столбце) строки, т. е. c ij = 1 , то всем единицам в j-ой строке (пусть этим единицам соответствуют k е координаты такие, что, c jk = 1) должны соответствовать единицы в i-й строке в тех же k-х координатах, т. е. c ik = 1 (и, может быть, ещё и в других координатах).

Задача 3.1. Определите свойства отношения R – «быть делителем», заданного на множестве натуральных чисел.

Решение.

отношение R = {(a,b):a делитель b}:

рефлексивно, не антирефлексивно, так как любое число делит само себя без остатка: a/a = 1 для всех a∈N ;

не симметрично, антисимметрично, например, 2 делитель 4, но 4 не является делителем 2;

транзитивно,таккакесли b/a ∈ N и c/b ∈ N, то c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, например, если 6/3 = 2∈N и 18/6 = 3∈N, то 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Задача 3.2. Определите свойства отношения R – «быть братом», заданного на множестве людей.
Решение.

Отношение R = {(a,b):a - брат b}:

не рефлексивно, антирефлексивно из-за очевидного отсутствия aRa для всех a;

не симметрично, так как в общем случае между братом a и сестрой b имеет место aRb , но не bRa ;

не антисимметрично, так как если a и b –братья, то aRb и bRa, но a≠b;

транзитивно, если называть братьями людей, имеющих общих родителей (отца и мать).

Задача 3.3. Определите свойства отношения R – «быть начальником», заданного на множестве элементов структуры

Решение.

Отношение R = {(a,b) : a - начальник b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, если в конкретной интерпретации не имеет смысла;
• не симметрично, антисимметрично, так как для всех a≠b не выполняется одновременно aRb и bRa;
• транзитивно, так как если a начальник b и b начальник c , то a начальник c .

Определите свойства отношения R i , заданного на множестве M i матрицей, если:

1. R 1 «иметь один и тот же остаток от деления на 5»; M 1 множество натуральных чисел.
2. R 2 «быть равным»; M 2 множество натуральных чисел.
3. R 3 «жить в одном городе»; M 3 множество людей.
4. R 4 «быть знакомым»; M 4 множество людей.
5. R 5 {(a,b):(a-b) - чётное; M 5 множество чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
6. R 6 {(a,b):(a+b) - чётное; M 6 множество чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
7. R 7 {(a,b):(a+1) - делитель (a+b)} ; M 7 - множество {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
8. R 8 {(a,b):a - делитель (a+b),a≠1}; M 8 - множество натуральных чисел.
9. R 9 «быть сестрой»; M 9 - множество людей.
10. R 10 «быть дочерью»; M 10 - множество людей.

Операции над бинарными отношениями

Пусть R 1 , R 1 есть отношения, заданные на множестве A .

объединение R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = {(a,b) : (a,b) ∈ R 1 или (a,b) ∈ R 2 } ;

пересечение R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = {(a,b) : (a,b) ∈ R 1 и (a,b) ∈ R 2 } ;

разность R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = {(a,b) : (a,b) ∈ R 1 и (a,b) ∉ R 2 } ;

универсальное отношение U: = {(a;b)/a ∈ A & b ∈ A}. ;

дополнение R 1 U \ R 1 , где U = A × A;

тождественное отношение I: = {(a;a) / a ∈ A};

обратное отношение R -11 : R -11 = {(a,b) : (b,a) ∈ R 1 };

композиция R 1 º R 2: R 1 º R 2: = {(a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b}, где R 1 ⊂ A × C и R 2 ⊂ C × B;

Определение. Степенью отношения R на множестве A называется его композиция с самим собой.

Обозначение:

Определение . Если R ⊂ A × B , то R º R -1 называется ядром отношения R .

Теорема 3.1. Пусть R ⊂ A × A – отношение, заданное на множестве A .

1. R рефлексивно тогда и только тогда, (далее используется знак ⇔) когда I ⊂ R.
2. R симметрично ⇔ R = R -1 .
3. R транзитивно ⇔ R º R ⊂ R
4. R антисимметрично ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
5. R антирефлексивно ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Задача 3.4 . Пусть R - отношение между множествами {1,2,3} и {1,2,3,4}, заданное перечислением пар: R = {(1,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4)}. Кроме того, S - отношение между множествами S = {(1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)}. Вычислите R -1 , S -1 и S º R. Проверьте, что (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Решение.
R -1 = {(1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3)};
S -1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4)};
S º R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)};
(S º R) -1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)};
R -1 º S -1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2 ,1), (2,2), (2,3)} = (S º R) -1 .

Задача 3.5 . Пусть R отношение «...родитель...», а S отношение «...брат...» на множестве всех людей. Дайте краткое словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 и R º R.

Решение.

R -1 - отношение«...ребёнок...»;

S -1 - отношение«...брат или сестра...»;

R º S - отношение «...родитель...»;

S -1 º R -1 - отношение «...ребёнок...»

R º R - отношение «...бабушка или дедушка...»

Задачи для самостоятельного решения

1) Пусть R - отношение «...отец...», а S - отношение «...сестра...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Пусть R - отношение «...брат...», а S - отношение «...мать...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Пусть R - отношение «...дед...», а S - отношение «...сын...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

4) Пусть R - отношение «...дочь...», а S - отношение «...бабушка...» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

5) Пусть R - отношение «...племянница...», а S - отношение «...отец...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Пусть R - отношение «сестра...», а S - отношение «мать...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Пусть R - отношение «...мать...», а S - отношение «...сестра...» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Пусть R - отношение «...сын...», а S - отношение «...дед...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Пусть R - отношение «...сестра...», а S - отношение «...отец...» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Пусть R - отношение «...мать...», а S - отношение «...брат...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Лекция 3.

п.3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.

3.1. Бинарные отношения .

Когда говорят о родстве двух людей, например, Сергей и Анна, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Сергей, Анна) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Сергеем и Анной есть некое родство (кузина, отец и т. д.).

В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A ´B ) тоже выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S ´K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s , k ), обладающих свойством: студент s слушает курс k . Построенное подмножество отражает отношение «… слушает …», естественно возникающее между множествами студентов и курсов.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств введем понятие бинарного отношения.

Определение 3.1. Бинарным (или двухместным ) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A ´B , т. е.

В частности, если A= B (то есть rÍA 2), то говорят, что r есть отношение на множестве A.

Элементы a и b называются компонентами (или координатами ) отношения r.

Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит : r, t, j, s, w и т. д.

Определение 3.2. Областью определения D r={a | $ b , что a rb } (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество R r={b | $ a , что a rb } (правая часть).

Пример 3. 1. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7} и B ={2; 4; 6}. Отношение зададим следующим образом t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}. Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t={(3; 6), (5; 4), (7;2)}. В данном примере D t={3; 5; 7} и R t= B ={2; 4; 6}.

Пример 3. 2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r={(x ; y ) | x и y – действительные числа и x равно y }. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, D r= R r.

Пример 3. 3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j={(x ; y )ÎA ´B | y – цена x } – отношение множеств A и B .

Если обратить внимание на пример 3.1., то можно заметить, что данное отношение было задано сначала в виде t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}, а потом записано в виде t={(3; 6), (5;4), (7;2)}. Это говорит о том, что отношения на множествах (или одном множестве) можно задавать различными способами. Рассмотрим способы задания бинарных отношений.

Способы задания отношений:

1) с помощью подходящего предиката;

2) множество упорядоченных пар;

3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними. Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости. Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом , точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа .

4) в виде матрицы: пусть A ={a 1, a 2, …, an } и B ={b 1, b 2, …, bm }, r – отношение на A ´B . Матричным представлением r называется матрица M =[mij ] размера n ´m , определенная соотношениями

.

Кстати, матричное представление является представлением отношения в компьютере.

Пример 3. 4. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7}и B ={2; 4; 6}. Отношение задано следующим образом t={(x ; y ) | x+ y =9}. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.

Решение. 1) t={(3; 6), (5; 4), (7; 2)} - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;

2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Пример 3. 5 . Еще в качестве примера можно рассмотреть предложенную Дж. фон Нейманом (1903 – 1957) блок-схему ЭВМ последовательного действия, которая состоит из множества устройств M :

,

где a – устройство ввода, b – арифметическое устройство (процессор), c – устройство управления, d – запоминающее устройство, e – устройство вывода.

Рассмотрим информационный обмен между устройствами mi и mj , которые находятся в отношении r, если из устройства mi поступает информация в устройство mj .

Это бинарное отношение можно задать перечислением всех его 14 упорядоченных пар элементов:

Соответствующий орграф, задающий это бинарное отношение, представлен на рисунке:

Матричное представление этого бинарного отношения имеет вид:

. ,

Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции: объединение, пересечение и т. д.

Введем обобщенное понятие отношения.

Определение 3.3. n-местное (n -арное ) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей )

rÍA 1´…´An ={(a 1, …, an )| a 1ÎA 1Ù … Ùan ÎAn }

Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц . Такое задание соответствует перечислению множества n -к отношения r. Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных . Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.

Слово «реляционная » происходит от латинского слова relation , которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).

Определение 3.4. Пусть rÍA ´B есть отношение на A ´B. Тогда отношение r-1 называется обратным отношением к данному отношению r на A ´B , которое определяется следующим образом:

r-1={(b , a ) | (a , b )Îr}.

Определение 3.5. Пусть r ÍA ´B есть отношение на A ´B, а s ÍB ´C – отношение на B ´C. Композицией отношений s и r называется отношение t ÍA ´C ,которое определяется следующим образом:

t=s◦r= {(a , c )| $ b Î B, что (a , b )Îr и (b , c )Îs}.

Пример 3. 6 . Пусть , и C ={, !, d, à}. И пусть отношение r на A ´B и отношение s на B ´C заданы в виде:

r={(1, x ), (1, y ), (3, x )};

s={(x ,), (x , !), (y , d), (y , à)}.

Найти r-1 и s◦r, r◦s.

Решение. 1) По определению r-1={(x , 1), (y , 1), (x , 3)};

2) Используя определение композиции двух отношений, получаем

s◦r={(1,), (1, !), (1, d), (1, à), (3,), (3, !)},

поскольку из (1, x )Îr и (x ,)Îs следует (1,)Îs◦r;

из (1, x )Îr и (x , !)Îs следует (1, !)Îs◦r;

из (1, y )Îr и (y , d)Îs следует (1, d)Îs◦r;

из (3, x )Îr и (x , !)Îs следует (3, !)Îs◦r.

Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

2) ;

3) - ассоциативность композиции.

Доказательство. Свойство 1 очевидно.

Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть (a ; b ) Î (s◦r)-1 Û (b ; a ) Î s◦r Û $ c такое, что (b ; c ) Î r и (c ; a ) Î s Û $ c такое, что (c ; b ) Î r-1 и (a ; c ) Î s-1 Û (a ; b ) Î r -1◦s -1.

Свойство 3 доказать самостоятельно.

3.2. Свойства бинарных отношений .

Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A .

Свойства бинарных отношений.

1. Отношение r на A ´A называется рефлексивным , если (a ,a ) принадлежит r для всех a из A .

2. Отношение r называется антирефлексивным , если из (a ,b )Îr следует a ¹b .

3. Отношение r симметрично , если для a и b , принадлежащих A , из (a ,b )Îr следует, что (b ,a )Îr.

4. Отношение r называется антисимметричным , если для a и b из A , из принадлежности (a ,b ) и (b ,a ) отношению r следует, что a =b .

5. Отношение r транзитивно , если для a , b и c из A из того, что (a ,b )Îr и (b ,c )Îr, следует, что (a ,c )Îr.

Пример 3. 7. Пусть A ={1; 2; 3; 4; 5; 6}. На этом множестве задано отношение rÍA 2, которое имеет вид: r={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)}. Какими свойствами обладает данное отношение?

Решение. 1) Это отношение рефлексивно, так как для каждого a ÎA , (a ; a )Îr.

2) Отношение не является антирефлексивным, так как не выполняется условие этого свойства. Например, (2, 2)Îr, но отсюда не следует, что 2¹2.

3) Рассмотрим все возможные случаи, показав, что отношение r является симметричным:

4) Данное отношение не является антисимметричным, поскольку (1, 2)Îr и (2,1)Îr, но отсюда не следует, что 1=2.

5) Можно показать, что отношение r транзитивно, используя метод прямого перебора.

Как по матрице представления

определить свойства бинарного отношения

1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.

.

2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.

3. Симметричность: если .

4. Антисимметричность: все элементы вне главной диагонали равны нулю; на главной диагонали тоже могут быть нули.

.

Операция «*» выполняется по следующему правилу: , где , .

5. Транзитивность: если . Операция «◦» выполняется по обычному правилу умножения, при этом надо учитывать: .

3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

Отношение эквивалентности является формализацией такой ситуации, когда говорят о сходстве (одинаковости) двух элементов множества.

Определение 3.6. Отношение r на A есть отношение эквивалентности , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности a rb часто обозначается: a ~ b .

Пример 3. 8 . Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.

Пример 3. 9 . Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X .

Пример 3. 1 0 . Пусть ¢ - множество целых чисел. Назовем два числа x и y из ¢ сравнимыми по модулю m (m Î¥) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m , т. е. разность (x -y ) делится на m .

Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе ¢. В самом деле:

это отношение рефлексивно, т. к. для "x ΢ имеем x -x =0, и, следовательно, оно делится на m ;

это отношение симметрично, т. к. если (x -y ) делится на m , то и (y -x ) тоже делится на m ;

это отношение транзитивно, т. к. если (x -y ) делится на m , то для некоторого целого t 1 имеем https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, отсюда , т. е. (x -z ) делится на m .

Определение 3.7. Отношение r на A есть отношение частичного порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.

Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.

Пример 3. 11 . Отношение x £y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка. ,

Пример 3. 1 2 . Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение A ÍB есть отношение частичного порядка.

Пример 3. 1 3 . Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.

Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выбора наилучшего объекта .

Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т. е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.

Отношение предпочтения P , которое можно определить как «aPb , a , b ÎA Û объект a не менее предпочтителен, чем объект b » является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a , то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т. е. P – отношение частичного порядка.

Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование , т. е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.

Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.

Очевидно, что произвольные бинарные отношения изучать в общем плане не особенно интересно, о них можно сказать очень мало. Однако, если отношения удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, относительно них можно делать более содержательные утверждения. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из основных свойств бинарных отношений.

• 1. Бинарное отношение на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента aX выполняется условие a:
  • (aX) a* a.

Если отношение представлено с помощью графа, то рефлексивность этого отношения означает, что в каждой вершине графа обязательно имеется петля.

Для отношения, заданного с помощью булевой матрицы его рефлексивность равносильна тому, что по главной диагонали этой матрицы (идущей из ее левого верхнего угла в правый нижний) стоят только символы 1.

2. Бинарное отношение на X называется антирефлексивным, если ни для одного aX не выполняется условие a * a:

Обозначим через I x отношение на множестве X, состоящее из пар вида (a, a), где a X:

I x = {(a, a)| a X}.

Отношение Ix обычно называют диагональю множества X или отношением тождества на X.

Очевидно, что отношение на множестве X рефлексивно, если диагональ I x является подмножеством множества:

Отношение антирефлексивно, если диагональ I x и отношение б не имеют ни одного общего элемента:

• 3. Бинарное отношение на множестве X называется симметричным, если из a * b следует b * a:
  • (a, bX)(a* b b*a).

Примерами симметричных отношений являются:

отношение перпендикулярности на множестве прямых;

отношение касания на множестве окружностей;

отношение "быть похожим" на множестве людей;

отношение "иметь одинаковый пол" на множестве животных.

Отношение "x брат y" на множестве всех людей не является симметричным. В то же время отношение "x брат y" на множестве мужчин симметричным является.

В графе симметричного отношения для каждой дуги из вершины x в вершину y имеется дуга из y в x. Поэтому симметричные отношения можно представлять графами с неориентированными ребрами. При этом каждая пара ориентированных ребер xy и yx заменяется одним неориентированным ребром.

На рисунке 8 представлено отношение

б= {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c)}

с помощью ориентированного и неориентированного графов.

Рис. 8.

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

Теорема: Объединение и пересечение любого семейства симметричных отношений снова являются симметричными отношениями.

Определение. Бинарное отношение на множестве X называется антисимметричным, если для любых различных элементов a и b условия a * b и b * a не выполняются одновременно:

(a, bX) (a * b & b* a a = b).

Например, отношение "делится" на множестве натуральных чисел является антисимметричным, так как из a b и b a следует, что a = b. Однако на множестве целых чисел отношение "делится" антисимметричным не является, так как (-2) 2 и 2 (-2), но -22.

Отношения "выше", "тяжелее", "старше" антисимметричны на множестве людей. Отношение "быть сестрой" на множестве всех людей антисимметричным не является.

В графе антисимметричного отношения две различные вершины могут быть соединены не более чем одной дугой.

Определение 3.5. Бинарное отношение a на множестве X называется транзитивным, если для любых трех элементов a, b, c X из a*b и b*c следует a*c:

(a, b, c X) (a* b & b* c a*c).

Примерами транзитивных отношений служат:

отношение "делится" на множестве действительных чисел;

отношение "больше" на множестве действительных чисел;

отношение "старше" на множестве людей игрушек;

отношение "иметь одинаковый цвет" на множестве детских игрушек;

д) отношение "быть потомком" на множестве людей.

Феодальное отношение "быть вассалом" не является транзитивным. Это в частности подчеркивается в некоторых учебниках истории: "вассал моего вассала не мой вассал".

Отношение "быть похожим" на множестве людей не обладает свойством транзитивности.

Для произвольного отношения можно найти минимальное транзитивное отношение такое, что аb. Таким отношением является транзитивное замыкание отношения.

Пример 3.1. Транзитивным замыканием бинарного отношения на множестве людей "быть ребенком" является отношение "быть потомком".

Справедлива теорема.

Теорема 3.2. Для любого отношения транзитивное замыкание равно пересечению всех транзитивных отношений, включающих в качестве подмножества.

Определение 3.6. Бинарное отношение на множестве X называется связным, если для любых двух различных элементов a и b имеет место a*b, либо b*a:

(a, b, c X)(ab a*b b*a).

Примером связного отношения является отношение "больше" на множестве действительных чисел. Отношение "делится" на множестве целых чисел связным не является.

4. Инвариантность отношений

В этом параграфе мы перечислим некоторые случаи, когда те или иные свойства отношений сохраняются при выполнении над ними операций .

Теорема 4.4. Чтобы произведение симметричных отношений было симметрично, необходимо и достаточно, чтобы отношения и коммутировали.

Отношение эквивалентности

Важным видом бинарного отношения является отношение эквивалентности.

Определение 1. Бинарное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на X, если рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности часто обозначают символами ~,.

Примерами отношения эквивалентности служат:

отношение тождества I X = {(a, a)|aX} на непустом множестве X;

отношение параллельности на множестве прямых плоскости;

отношение подобия на множестве фигур плоскости;

отношение равносильности на множестве уравнений;

отношение "иметь одинаковые остатки при делении на фиксированное натуральное число m" на множестве целых чисел. Это отношение в математике называют отношением сравнимости по модулю m и обозначают ab (mod m);

отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных;

отношение "быть родственниками" на множестве людей;

отношение "быть одного роста" на множестве людей;

отношение "жить в одном доме" на множестве людей.

Отношения "жить на одной улице", "быть похожими" на множестве людей отношениями эквивалентности не являются, так как не обладают свойством транзитивности.

Из перечисленных выше свойств бинарных отношений следует, что пересечение отношений эквивалентности является отношением эквивалентности.

Классы эквивалентности

С отношением эквивалентности тесно связано разбиение множества на классы.

Определение 1. Система непустых подмножеств

{M 1 , M 2 , …}

множества M называется разбиением этого множества, если

Сами множества M 1 , M 2 , … называются при этом классами данного разбиения.

Примерами разбиений служат:

разложение всех многоугольников на группы по числу вершин - треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.;

разбиение всех треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные);

разбиение всех треугольников по свойствам сторон (разносторонние, равнобедренные, равносторонние);

разбиение всех треугольников на классы подобных треугольников;

разбиение множества всех учащихся данной школы по классам.

Широкое применение отношений эквивалентности в современной науке связано с тем, что всякое отношение эквивалентности осуществляет разбиение множества, в котором оно определено, на классы, обычно принимаемые за новые объекты. Другими словами с помощью отношений эквивалентности порождаются новые объекты, понятия.

Так, например, отношение сонаправленности лучей разбивает множество всех лучей плоскости или пространства на классы сонаправленных лучей. Каждый из этих классов лучей называется направлением. Таким образом, интуитивное понятие направления получает точное математическое описание как класс разбиения множества лучей с помощью отношения эквивалентности.

О подобных фигурах обычно говорят, что они имеют одинаковую форму. Но что такое форма геометрической фигуры? Интуитивно ясно, что это то общее, что объединяет подобные фигуры. С помощью отношения эквивалентности удается это интуитивное понятие перевести в точное математическое. Отношение подобия, являясь отношением эквивалентности, разбивает множество фигур на классы подобных фигур. Каждый такой класс можно назвать формой. Тогда выражение "две одинаковые фигуры имеют одинаковую форму" имеет следующий точный смысл "две подобные фигуры принадлежат одной форме".

Отношения эквивалентности встречаются всюду, где осуществляются разбиения множеств на классы. Мы часто пользуемся ими, не замечая этого.

Приведем элементарный пример. Когда дети играют со множеством разноцветных игрушек (например, с блоками Дьенеша) и решают задачу разложить игрушки по цветам, то они пользуются отношением "иметь один цвет". Полученные в результате классы одноцветных фигур воспринимаются детьми как новые понятия: красные, желтые, синие и т. д.

Аналогично в результате решения задачи разложения блоков по форме дети получают классы, каждый из которых воспринимается как форма: прямоугольные, круглые, треугольные и т. д.

Связи между отношениями эквивалентности, определенными на множестве M, и разбиениями множества M на классы описываются в следующих двух теоремах.

Теорема 1 Всякое разбиение непустого множества M на классы определяет (индуцирует) на этом множестве отношение эквивалентности такое, что:

всякие два элемента одного класса находятся в отношении;

всякие два элемента различных классов не находятся в отношении. Доказательство. Пусть имеется некоторое разбиение непустого множества M. Определим бинарное отношение следующим образом: xay(K)(xK&yK).

То есть два элемента x и y aиз множества M связаны отношением в том и только в том случае, если в разбиении найдется такой класс K, которому одновременно принадлежат элементы x и y.

Так определенное отношение, очевидно, рефлексивно и симметрично. Докажем транзитивность отношения. Пусть x*y и x*z. Тогда по определению в существуют классы K 1 и K 2 такие, что x, yK 1 и y, zK 2 . Так как различные классы в разбиении не имеют общих элементов, то K 1 = K 2 , то есть x, z K 1 . Поэтому x*z, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Всякое отношение эквивалентности в непустом множестве M порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности такое, что всякие два элемента одного класса находятся в отношении;

всякие два элемента различных классов не находятся в отношении.

Доказательство. Пусть б - некоторое отношение эквивалентности на множестве M. Каждому элементу x из поставим в соответствие подмножество [x] множества M, состоящее из всех элементов y, находящихся в отношении с элементом x:

Система подмножеств [x], образует разбиение множества M. Действительно, во-первых, каждое подмножество [x]O, так как в силу рефлексивности отношения x[x].

Во-вторых, два различных подмножества [x] и [y] не имеют общих элементов. Рассуждая от противного, допустим существование элемента z такого, что z[x] и z[y]. Тогда zax и zay. Поэтому для любого элемента a[x] из a* x, z*x и z*y в силу симметричности и транзитивности отношения вытекает a*y, то есть a[y]. Следовательно, [x] [y]. Аналогично получаем, что [y][x]. Полученные два включения влекут равенство [x] = [y], противоречащее предположению о несовпадении подмножеств [x] и [y]. Таким образом, [x]y] = O.

В-третьих, объединение всех подмножеств [x] совпадает со множеством M, ибо для любого элемента xM выполняется условие x[x].

Итак, система подмножеств [x], образует разбиение множества M. Несложно показать, что построенное разбиение удовлетворяет условиям теоремы. Разбиение множества M, обладающее свойствами, указанными в теореме, называется фактор-множеством множества M по отношению и обозначается M/б.

1. Рефлексивность:

2. Слабая рефлексивность:

3. Сильная рефлексивность:

4. Антирефлексивность:

5. Слабая антирефлексивность:

6. Сильная антирефлексивность:

7. Симметричность:

8. Антисимметричность:

9. Асимметричность:

10. Сильная линейность:

11. Слабая линейность:

12. Транзитивность:

Рефлексивность, свойство бинарных (двуместных, двучленных) отношений, выражающее выполнимость их для пар объектов с совпадающими членами (так сказать, между объектом и его "зеркальным отражением"): отношение R называется рефлексивным, если для любого объекта х из области его определения выполняется xRx. Типичные и наиболее важные примеры рефлексивных отношений: отношения типа равенства (тождества, эквивалентности, подобия и т.п.: любой предмет равен самому себе) и отношения нестрогого порядка (любой предмет не меньше и не больше самого себя). Интуитивные представления о "равенстве" (эквивалентности, подобии и т.п.), очевидным образом наделяющие его свойствами симметричности и транзитивности, "вынуждают" и свойство Р., поскольку последнее свойство следует из первых двух. Поэтому многие употребительные в математике отношения, по определению Р. не обладающие, оказывается естественным доопределить таким образом, чтобы они становились рефлексивными, например, считать, что каждая прямая или плоскость параллельна самой себе, и т.п.

Глава 1. Элементы теории множеств

1.1 Множества

Наиболее простая структура данных, используемая в математике, имеет место в случае, когда между отдельными изолированными данными отсутствуют какие-либо взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет собой множество . Понятие множества является неопределяемым понятием. Множество не обладает внутренней структурой. Множество можно представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности.

Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга. (Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами. Если элемент

Если каждый элемент множества

Подмножество

Используя понятие множества можно построить более сложные и содержательные объекты.

1.2 Операции над множествами

Основными операциями над множествами являются объединение , пересечение и разность .

Определение 1 . Объединением

Определение 2 . Пересечением двух множеств называется новое множество

Определение 3 . Разностью двух множеств называется новое множество

Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначить

Замечание. Понятие отношения является очень важным не только с математической точки зрения. Понятие отношения фактически лежит в основе всей реляционной теории баз данных. Как будет показано ниже, отношения являются математическим аналогом таблиц . Сам термин "реляционное представление данных", впервые введенный Коддом , происходит от термина relation , понимаемом именно в смысле этого определения.

Т. к. любое множество можно рассматривать как декартовое произведение степени 1, то любое подмножество, как и любое множество, можно считать отношением степени 1. Это не очень интересный пример, свидетельствующий лишь о том, что термины "отношение степени 1" и "подмножество" являются синонимами. Нетривиальность понятия отношения проявляется, когда степень отношения больше 1. Ключевыми здесь являются два момента:

Во-первых , все элементы отношения есть однотипные кортежи. Однотипность кортежей позволяет считать их аналогами строк в простой таблице, т.е. в такой таблице, в которой все строки состоят из одинакового числа ячеек и в соответствующих ячейках содержатся одинаковые типы данных. Например, отношение, состоящее из трех следующих кортежей { (1, "Иванов", 1000), (2, "Петров", 2000), (3, "Сидоров", 3000) } можно считать таблицей, содержащей данные о сотрудниках и их зарплатах. Такая таблица будет иметь три строки и три колонки, причем в каждой колонке содержатся данные одного типа.

В противоположность этому рассмотрим множество { (1), (1,2), (1, 2,3) }, состоящее из разнотипных числовых кортежей. Это множество не является отношением ни в